Sistemas de ecuaciones: encontrar los valores que satisfacen dos condiciones a la vez

Un sistema de ecuaciones surge cuando necesitamos encontrar valores que satisfagan dos o más condiciones simultáneamente. Imagina que fuiste al supermercado y compraste 2 kg de arroz y 1 kg de frijoles por $14, y la semana siguiente compraste 1 kg de arroz y 3 kg de frijoles por $17. Cada compra proporciona una ecuación; juntas forman un sistema que permite descubrir el precio exacto de cada producto. Ninguna de las ecuaciones por separado sería suficiente — es la combinación la que resuelve el problema.

Los problemas de mezcla funcionan de la misma manera: si mezclas dos soluciones de concentraciones distintas para obtener un volumen y una concentración finales específicos, cada exigencia genera una ecuación. El sistema representa las dos restricciones actuando en conjunto. Estos escenarios aparecen en química, logística, finanzas y en cualquier situación donde dos cantidades desconocidas estén ligadas por dos relaciones distintas.

El número de soluciones de un sistema lineal con dos ecuaciones y dos incógnitas puede ser exactamente uno (solución única), cero (sistema imposible) o infinito (sistema indeterminado). La solución única es el caso típico de los problemas escolares; los otros dos casos revelan algo importante sobre las relaciones entre las ecuaciones y merecen atención especial.

El método de sustitución consiste en despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones y sustituir la expresión obtenida en la otra ecuación, reduciendo el sistema a una única ecuación con una única incógnita. Usemos el sistema {2x + y = 10 y x − y = 1}.

De la segunda ecuación despejamos x: x = y + 1. Sustituimos en la primera: 2(y + 1) + y = 10, lo que se convierte en 2y + 2 + y = 10, por tanto 3y = 8 e y = 8/3. Volvemos para encontrar x: x = 8/3 + 1 = 11/3. La solución es (x, y) = (11/3, 8/3). Verificamos en la primera ecuación: 2(11/3) + 8/3 = 22/3 + 8/3 = 30/3 = 10 ✓. Y en la segunda: 11/3 − 8/3 = 3/3 = 1 ✓.

Este método es especialmente eficiente cuando una de las ecuaciones ya tiene una variable con coeficiente 1 o −1, ya que el despeje no genera fracciones y el resto del cálculo queda más limpio. Si ambas ecuaciones tienen coeficientes mayores, el método de suma-resta suele ser más práctico.

En el método de suma-resta, multiplicamos una o ambas ecuaciones por constantes de modo que los coeficientes de una de las variables queden con valores opuestos. Al sumar las ecuaciones, esa variable se elimina. Considera el sistema {3x + 2y = 14 y x − 2y = 2}. Los coeficientes de y ya son opuestos (+2 y −2), así que basta sumar directamente: (3x + x) + (2y − 2y) = 14 + 2, resultando en 4x = 16, por tanto x = 4. Sustituyendo en la segunda ecuación: 4 − 2y = 2, luego 2y = 2 e y = 1. La solución es (4, 1).

Cada ecuación del sistema representa una recta en el plano cartesiano. La solución del sistema es el punto donde esas dos rectas se cruzan. Cuando el sistema tiene solución única, las rectas se intersectan en exactamente un punto. Cuando el sistema no tiene solución, las rectas son paralelas — nunca se encuentran, pues tienen la misma pendiente pero diferente ordenada en el origen. Cuando el sistema tiene infinitas soluciones, las dos ecuaciones describen la misma recta, simplemente escritas de forma diferente.

Detectar el caso antes de resolver ahorra tiempo. Si las ecuaciones tienen la misma razón entre los coeficientes de x e y pero una razón diferente en los términos independientes, el sistema es imposible. Si todas las razones — incluidos los términos independientes — son iguales, el sistema es indeterminado. Darse cuenta de esto por inspección rápida evita cálculos innecesarios. Por ejemplo, {2x + 4y = 8 y x + 2y = 5}: dividiendo la primera por 2 obtenemos x + 2y = 4, que contradice x + 2y = 5. Sistema imposible, sin necesidad de continuar.