Semejanza de triángulos: proporciones y aplicaciones

Dos figuras geométricas son semejantes cuando tienen la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamaño. Piensa en una foto y su versión ampliada: misma imagen, tamaños diferentes. Para los triángulos, la semejanza significa ángulos correspondientes iguales y lados correspondientes proporcionales.

La razón de semejanza k es la proporción constante entre los lados correspondientes. Si el triángulo ABC tiene lados 3, 4, 5 y el triángulo DEF tiene lados 6, 8, 10, entonces k = 2 (DEF es el doble de ABC). Todos los lados de DEF son exactamente el doble que los lados correspondientes de ABC.

Es importante no confundir semejanza con congruencia. Las figuras congruentes tienen la misma forma Y el mismo tamaño (k = 1). Las figuras semejantes tienen la misma forma pero tamaños posiblemente distintos (k ≠ 1). Toda congruencia es semejanza, pero no toda semejanza es congruencia.

Criterio AA (Ángulo-Ángulo): si dos ángulos de un triángulo son iguales a dos ángulos de otro, los triángulos son semejantes. Como la suma de los ángulos internos es siempre 180°, basta que dos ángulos sean iguales para garantizar que el tercero también lo sea.

Criterio LAL (Lado-Ángulo-Lado): si dos lados de un triángulo son proporcionales a dos lados de otro y el ángulo entre ellos es igual, los triángulos son semejantes. Es necesario que el ángulo sea el formado exactamente por los dos lados proporcionales.

Criterio LLL (Lado-Lado-Lado): si los tres lados de un triángulo son proporcionales a los tres lados de otro (misma razón de semejanza k para todos), los triángulos son semejantes. Este criterio exige verificar los tres pares de lados.

Si la razón de semejanza entre dos triángulos es k, entonces la razón entre sus perímetros también es k, pero la razón entre sus áreas es k². Esto es fundamental: si un triángulo tiene lados el doble de grandes (k = 2), tiene un perímetro el doble mayor, pero un área cuatro veces mayor.

Para encontrar lados desconocidos, plantea una proporción con los lados correspondientes conocidos. Si ABC ~ DEF con k = 3 y el lado AB = 5 cm, entonces DE = 5 × 3 = 15 cm. Si DE = 12 y AB = 4, entonces k = 3; si el lado BC = 7, entonces EF = 21.

Un uso clásico es calcular la altura de objetos usando sombras. Si una estaca de 1 m proyecta una sombra de 1,5 m al mismo tiempo que un edificio proyecta una sombra de 30 m, los triángulos formados por la estaca y el edificio con sus rayos de sol son semejantes. Por tanto: altura del edificio / 1 m = 30 m / 1,5 m, así que altura = 20 m.

En cartografía, los mapas son modelos semejantes de la superficie terrestre. La escala 1:100 000 significa que 1 cm en el mapa representa 100 000 cm = 1 km en la realidad. La razón de semejanza es k = 1/100 000. Para encontrar distancias reales, mide en el mapa y multiplica por la escala inversa.

En fotografía y cine, los objetivos crean proyecciones que obedecen a la semejanza de triángulos. La relación entre el tamaño del objeto, su distancia a la cámara y el tamaño de la imagen formada viene dada directamente por la razón de semejanza. Fotógrafos y directores de arte usan este principio para calcular perspectivas y planos de cámara.