Progresiones aritméticas: reconocer el patrón y calcular cualquier término
Cuando cada número de una secuencia se obtiene sumando siempre la misma cantidad al anterior, tenemos una progresión aritmética. Aprende a encontrar cualquier término y calcular sumas sin necesidad de listar todos los elementos.
Renato Freitas
Actualizado el 6 de mayo de 2026
Qué es una PA y cómo identificar la razón
Una progresión aritmética (PA) es una secuencia de números en la que la diferencia entre cada término y el anterior es siempre la misma constante, llamada razón (r). En la secuencia 3, 7, 11, 15, 19, la diferencia entre términos consecutivos es siempre 4: r = 4. En la secuencia 100, 85, 70, 55, la diferencia es siempre −15: r = −15. La razón puede ser positiva (PA creciente), negativa (PA decreciente) o cero (PA constante, donde todos los términos son iguales).
Para verificar si una secuencia es una PA, basta calcular todas las diferencias consecutivas y comprobar si son iguales. Si la secuencia es 2, 5, 9, 14, las diferencias son 3, 4 y 5 — no son iguales, por tanto no es una PA. Esta verificación sencilla evita errores al intentar aplicar fórmulas de PA en secuencias que no encajan en el patrón.
Los ejemplos del mundo real son fáciles de encontrar. Los aumentos salariales anuales de valor fijo generan una PA: si empiezas con $3.000 y recibes $200 de aumento cada año, tu salario forma la secuencia 3.000, 3.200, 3.400, 3.600... con r = 200. Las cuotas fijas de un préstamo sin intereses también forman una PA decreciente cuando calculas el saldo pendiente: cada mes el saldo cae en el mismo importe de la cuota.
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Término general: calcular cualquier posición sin listar todos
La fórmula del término general permite encontrar cualquier elemento de la PA directamente, sin necesidad de calcular todos los anteriores. La fórmula es aₙ = a₁ + (n − 1)r, donde a₁ es el primer término, n es la posición deseada y r es la razón. El razonamiento es simple: del primer al n-ésimo término ocurren (n − 1) sumas de la razón. Para llegar al segundo término sumamos r una vez; para el tercero, dos veces; para el n-ésimo, (n − 1) veces.
Calculemos el 15.º término de la secuencia 2, 5, 8, 11... Identificamos a₁ = 2, r = 3 y n = 15. Aplicamos: a₁₅ = 2 + (15 − 1) × 3 = 2 + 14 × 3 = 2 + 42 = 44. No fue necesario listar los 14 términos intermedios. La fórmula también puede usarse de forma inversa: si sabemos que el valor 44 está en la secuencia y queremos saber en qué posición, resolvemos 44 = 2 + (n − 1) × 3, obteniendo n = 15.
La fórmula inversa es igualmente útil para encontrar la razón cuando se conocen dos términos. Si sabemos que el primer término es 5 y el séptimo es 29, podemos escribir 29 = 5 + (7 − 1)r, lo que da 6r = 24 y r = 4. Esta flexibilidad convierte la fórmula del término general en una herramienta versátil para cualquier tipo de problema con PA.
Suma de los n primeros términos
La suma de los n primeros términos de una PA viene dada por Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2. Esta fórmula proviene de un razonamiento elegante atribuido a Gauss: al escribir la secuencia de adelante hacia atrás y sumar las dos versiones, cada par de términos correspondientes suma exactamente a₁ + aₙ. Como hay n pares, la suma total es n(a₁ + aₙ), y como cada par se contó dos veces, dividimos entre 2.
Ejemplo: queremos la suma de los 20 primeros términos de la secuencia 1, 4, 7, 10... con a₁ = 1 y r = 3. Primero calculamos el 20.º término: a₂₀ = 1 + (20 − 1) × 3 = 1 + 57 = 58. Luego aplicamos la fórmula de la suma: S₂₀ = 20 × (1 + 58)/2 = 20 × 59/2 = 10 × 59 = 590. Sumar 20 términos a mano llevaría mucho tiempo; la fórmula lo resuelve en segundos.
- Término general: aₙ = a₁ + (n − 1)r — usa cuando necesites un término específico en cualquier posición.
- Suma de los n primeros términos: Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 — usa cuando necesites el total de una serie de términos.
- Razón a partir de dos términos: r = (aₙ − a₁)/(n − 1) — usa cuando conoces dos términos y quieres la razón.
- Posición de un término: n = (aₙ − a₁)/r + 1 — usa cuando quieras saber en qué posición está un valor.
- Para aplicar cualquier fórmula, identifica primero: cuál es a₁, cuál es r y qué quieres encontrar.
Preguntas frecuentes
¿La razón de una PA puede ser cero?
Sí. Cuando r = 0, todos los términos de la secuencia son iguales al primer término. Se llama PA constante. Por ejemplo, 7, 7, 7, 7... es una PA con a₁ = 7 y r = 0. Las fórmulas del término general y de la suma siguen siendo válidas en este caso.
¿Cuál es la diferencia entre PA y PG (progresión geométrica)?
En una PA, la diferencia entre términos consecutivos es constante (sumamos la razón). En una PG, la razón entre términos consecutivos es constante (multiplicamos por la razón). PA: 2, 5, 8, 11 (suma 3). PG: 2, 6, 18, 54 (multiplica por 3). El crecimiento de una PA es lineal; el de una PG es exponencial.
¿Cómo identifico si una secuencia es una PA?
Calcula las diferencias entre todos los términos consecutivos. Si todas son iguales, la secuencia es una PA y esa diferencia constante es la razón. Si las diferencias varían, no es una PA — puede ser una PG u otro tipo de secuencia.
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