Ley de los Cosenos: El Teorema de Pitágoras Generalizado
La Ley de los Cosenos generaliza Pitágoras para cualquier triángulo. Aprende cuándo usarla en los casos SAS y SSS, cómo calcular lados y ángulos, y aplicaciones prácticas.
Renato Freitas
Actualizado el 5 de mayo de 2026
Enunciado y conexión con Pitágoras
La Ley de los Cosenos dice que, en un triángulo con lados a, b, c y ángulo C opuesto al lado c: c² = a² + b² − 2ab · cos C.
Cuando C = 90°, cos 90° = 0 y la fórmula se reduce a c² = a² + b², exactamente el Teorema de Pitágoras. Por lo tanto, la Ley de los Cosenos es la versión generalizada de Pitágoras que funciona para cualquier triángulo, no solo para los rectángulos.
El término −2ab · cos C actúa como una corrección: cuando C < 90° (ángulo agudo), cos C > 0 y c² es menor que a² + b²; cuando C > 90° (ángulo obtuso), cos C < 0 y la resta se convierte en suma, haciendo c² mayor que a² + b².
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Cuándo usar la Ley de los Cosenos
La Ley de los Cosenos es la herramienta adecuada en dos casos: SAS (dos lados y el ángulo entre ellos son conocidos) y SSS (los tres lados son conocidos).
En el caso SAS, aplicas la fórmula directamente para encontrar el lado opuesto. En el caso SSS, despejas el coseno para encontrar un ángulo: cos C = (a² + b² − c²) / (2ab), y luego usas la función arccos.
La Ley de los Senos no funciona en esos casos porque, en SAS, no tienes un par completo lado-ángulo opuesto, y en SSS no tienes ningún ángulo inicial. La Ley de los Cosenos llena exactamente esas lagunas.
- SAS: dos lados + ángulo incluido → hallar el tercer lado
- SSS: tres lados conocidos → hallar cualquier ángulo
- AAS, ASA, SSA → prefiere Ley de los Senos
Calculando el lado desconocido (caso SAS)
Ejemplo: a = 8, b = 6, C = 60°. Entonces c² = 8² + 6² − 2 × 8 × 6 × cos 60° = 64 + 36 − 96 × 0,5 = 100 − 48 = 52. Luego c = √52 = 2√13 ≈ 7,21.
Pasos: (1) Identifica los dos lados y el ángulo entre ellos. (2) Sustituye en la fórmula c² = a² + b² − 2ab cos C. (3) Calcula el valor numérico de c². (4) Extrae la raíz cuadrada.
Una vez encontrado c, puedes determinar los ángulos restantes usando la Ley de los Senos (ahora tienes un par completo lado-ángulo) o usando la Ley de los Cosenos nuevamente para cada ángulo.
Calculando el ángulo desconocido (caso SSS)
Ejemplo: a = 5, b = 7, c = 9. Para encontrar C (opuesto a c = 9): cos C = (5² + 7² − 9²) / (2 × 5 × 7) = (25 + 49 − 81) / 70 = −7/70 = −0,1. Luego C = arccos(−0,1) ≈ 95,74°.
El signo negativo del coseno indica que C es obtuso (mayor de 90°), lo cual es de esperar ya que c = 9 es el lado más largo. Este razonamiento es útil para verificar si el resultado tiene sentido.
Con un ángulo determinado, los otros dos pueden calcularse con la Ley de los Senos o repitiendo la Ley de los Cosenos. Suma siempre los tres ángulos al final para confirmar que dan 180°.
Ley de los Senos vs Ley de los Cosenos: cuándo usar cada una
La regla sencilla: si tienes un par lado-ángulo opuesto y necesitas más información, usa la Ley de los Senos. Si no tienes ese par —es decir, tus datos son SAS o SSS— usa la Ley de los Cosenos.
En problemas con dos ángulos (AAS o ASA), la Ley de los Senos es más rápida. En el caso ambiguo SSA, la Ley de los Senos también se aplica, pero requiere cuidado extra. La Ley de los Cosenos evita el caso ambiguo: en el caso SAS, la solución es siempre única.
En aplicaciones de ingeniería y navegación, ambas leyes se usan en conjunto: la Ley de los Cosenos para el primer triángulo y la Ley de los Senos para los siguientes, alternando según los datos disponibles.
Preguntas frecuentes
¿Puedo usar la Ley de los Cosenos en cualquier triángulo, incluyendo los obtusángulos?
Sí, la fórmula vale para triángulos acutángulos, rectángulos y obtusángulos sin ninguna modificación. Cuando el ángulo C es obtuso, cos C es negativo, y el término −2ab cos C se vuelve positivo, reflejando que c es mayor que en un triángulo con ángulo recto.
¿Por qué no usar la Ley de los Senos en el caso SAS?
En el caso SAS conoces dos lados y el ángulo entre ellos, pero no tienes el ángulo opuesto a ninguno de los dos lados conocidos — y la Ley de los Senos exige un par completo lado-ángulo opuesto. Sin ese par, la proporción no puede plantearse.
¿La calculadora puede dar arccos de valores fuera de −1 a 1?
No. Si el cálculo resulta en cos C > 1 o cos C < −1, hubo un error de cálculo o los valores dados no forman un triángulo válido. La desigualdad triangular exige que cada lado sea menor que la suma de los otros dos.
¿Cómo sé qué versión de la Ley de los Cosenos usar — para el lado o para el ángulo?
Depende de lo que sea desconocido. Si quieres el lado, usa c² = a² + b² − 2ab cos C directamente. Si quieres el ángulo y conoces los tres lados, despeja el coseno: cos C = (a² + b² − c²) / (2ab) y aplica arccos.
¿Existe una versión de la Ley de los Cosenos para ángulos en radianes?
La fórmula es idéntica; solo cambia el valor numérico del coseno según la unidad. cos(π/3) en radianes es igual que cos 60° = 0,5. La ley funciona en cualquier unidad, siempre que la calculadora esté configurada correctamente.
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