Geometría analítica básica: coordenadas, rectas y distancias

El plano cartesiano, creado por René Descartes en el siglo XVII, es un sistema de referencia formado por dos ejes perpendiculares: el eje x (horizontal, llamado abscisa) y el eje y (vertical, llamado ordenada). La intersección de los dos ejes es el origen O = (0, 0).

Cada punto del plano se identifica por un par ordenado (x, y). El valor x indica el desplazamiento horizontal desde el origen (positivo hacia la derecha, negativo hacia la izquierda) y el valor y indica el desplazamiento vertical (positivo hacia arriba, negativo hacia abajo). Por ejemplo, el punto (3, -2) está 3 unidades a la derecha y 2 unidades por debajo del origen.

Los dos ejes dividen el plano en cuatro cuadrantes. En el 1.° cuadrante, x > 0 e y > 0. En el 2.°, x < 0 e y > 0. En el 3.°, x < 0 e y < 0. En el 4.°, x > 0 e y < 0. Identificar el cuadrante de un punto es una forma rápida de comprobar si un resultado es correcto.

La distancia entre dos puntos P1 = (x1, y1) y P2 = (x2, y2) se deriva directamente del Teorema de Pitágoras: d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²). El segmento que une los dos puntos es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos tienen longitudes |x2 - x1| e |y2 - y1|.

El punto medio M entre P1 y P2 tiene coordenadas que son la media aritmética de las coordenadas de los extremos: M = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2). Por ejemplo, el punto medio de (2, 4) y (8, 10) es ((2+8)/2, (4+10)/2) = (5, 7). Este resultado es intuitivo: el punto medio está 'en el camino' en cada dirección.

La pendiente (inclinación) m de una recta que pasa por dos puntos mide cuánto varía y por cada unidad de variación en x: m = (y2 - y1) / (x2 - x1). Una recta horizontal tiene m = 0; una recta creciente tiene m > 0; una recta decreciente tiene m < 0. Las rectas verticales no tienen pendiente definida.

La ecuación reducida de una recta es y = mx + b, donde m es la pendiente y b es la ordenada en el origen (valor de y cuando x = 0, es decir, donde la recta corta el eje y). Dados la pendiente m y un punto (x0, y0) de la recta, se encuentra b por sustitución: b = y0 - m·x0.

Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente: m1 = m2. Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es -1: m1 × m2 = -1, o equivalentemente, m2 = -1/m1. Estas relaciones se usan ampliamente en geometría analítica para resolver problemas de distancias y ángulos entre rectas.

El GPS usa un sistema de coordenadas esféricas (latitud y longitud), pero los cálculos locales de navegación — trayectorias en áreas pequeñas — se realizan con aproximaciones del plano cartesiano. Las aplicaciones de mapas calculan distancias entre puntos de interés, rutas mínimas y puntos medios usando exactamente las fórmulas de la geometría analítica.

En computación gráfica, cada píxel de una pantalla se identifica por coordenadas (x, y). Las rotaciones, traslaciones y escalas de objetos 2D son transformaciones geométricas aplicadas a las coordenadas. Los videojuegos 2D, las animaciones y las interfaces gráficas calculan transformaciones de punto medio y distancias constantemente para detectar colisiones y renderizar escenas.

En análisis de datos, los diagramas de dispersión (scatter plots) representan puntos en el plano cartesiano. La regresión lineal — técnica fundamental en estadística y aprendizaje automático — encuentra la recta y = mx + b que mejor se ajusta a un conjunto de puntos, minimizando las distancias entre los puntos y la recta. Dominar la geometría analítica básica es, por tanto, un requisito previo para entender el aprendizaje automático.