Funciones lineales: interpretar y trazar la gráfica de una recta

Una función lineal se define como f(x) = ax + b, donde a y b son constantes reales. El dominio es el conjunto de los reales y la imagen también es un conjunto de reales. El coeficiente a — llamado pendiente o tasa de variación — indica cuánto cambia f(x) por cada incremento unitario en x. Si a = 3, cada unidad adicional en x produce 3 unidades más en el resultado. El coeficiente b — llamado término independiente u ordenada en el origen — es el valor de f(0), el punto donde la función cruza el eje vertical.

Las tarifas de taxi son un ejemplo didáctico: si la bajada de bandera cuesta $5,50 y cada kilómetro cuesta $2,20, el costo total es f(x) = 2,20x + 5,50. Aquí b = 5,50 (valor fijo) y a = 2,20 (costo por km). La conversión de temperatura entre Fahrenheit y Celsius también es lineal: C = (F − 32) × 5/9, que puede escribirse como C = (5/9)F − 160/9. Siempre que una relación tiene un componente fijo y un componente proporcional a la cantidad, estás ante una función lineal.

El concepto de tasa de variación constante es el núcleo de la función lineal. Mientras que las funciones cuadráticas y exponenciales tienen tasas que cambian conforme x varía, la función lineal mantiene el mismo ritmo a lo largo de todo el dominio. Esta propiedad la hace ideal para modelar situaciones lineales y predecibles.

Dos puntos determinan una recta, así que el mínimo necesario para trazar la gráfica es calcular f(x) para dos valores de x distintos. El punto más fácil es siempre x = 0: f(0) = b, que da directamente la ordenada en el origen. El segundo punto suele ser x = 1: f(1) = a + b. Con estos dos puntos marcados en el plano cartesiano, basta trazar la recta que los une y prolongarla.

El signo de a determina el comportamiento de la función: si a > 0, la función es creciente — la gráfica sube de izquierda a derecha; si a < 0, es decreciente — la gráfica baja; si a = 0, la función es constante y la gráfica es una recta horizontal. Cuanto mayor el valor absoluto de a, más inclinada es la recta. Dos gráficas con el mismo a pero valores de b distintos son rectas paralelas, pues tienen la misma pendiente, solo desplazadas verticalmente.

El coeficiente b desplaza la recta hacia arriba (si b > 0) o hacia abajo (si b < 0) sin alterar su pendiente. Imagina que tienes la función f(x) = 2x + 1 y cambias a f(x) = 2x + 5: la pendiente permanece igual, pero la recta completa sube 4 unidades. Este comportamiento intuitivo permite esbozar rápidamente variaciones de una misma función sin recalcular puntos.

El cero de la función lineal es el valor de x para el que f(x) = 0, es decir, donde la recta cruza el eje horizontal. Resolviendo ax + b = 0, obtenemos x = −b/a. Este punto tiene interpretaciones concretas según el contexto: es el instante en que una deuda queda saldada, el momento en que dos precios se igualan o la cantidad a partir de la cual una empresa comienza a obtener ganancias.

Considera una empresa cuyo costo fijo mensual es $8.000 y cada unidad producida genera $40 de ingreso neto sobre los costos variables. La ganancia mensual puede modelarse como G(x) = 40x − 8.000, donde x es el número de unidades vendidas. El cero ocurre en x = 8.000/40 = 200: por debajo de 200 unidades la empresa tiene pérdidas; por encima, ganancias. Ese punto de equilibrio es exactamente el cero de la función lineal.