Regressão Linear Simples: Prevendo Valores com uma Reta

Regressão linear simples é uma técnica estatística para modelar a relação entre uma variável dependente (Y, o que queremos prever) e uma variável independente (X, o que usamos para prever). A ideia é encontrar a reta que melhor passa pelos dados, minimizando os erros de previsão.

O exemplo clássico é prever o preço de uma casa (Y) com base em sua área em metros quadrados (X). Intuitivamente, esperamos que casas maiores custem mais — a regressão quantifica exatamente essa relação e permite fazer previsões para novas casas.

A reta de regressão é descrita pela equação ŷ = a + bx, onde ŷ é o valor previsto de Y para dado X, b é o coeficiente angular (slope) e a é o intercepto (onde a reta cruza o eixo Y quando X = 0).

O coeficiente angular b indica quanto Y muda em média para cada unidade de aumento em X. Se a regressão de preço de casas der b = 3.500, isso significa que cada metro quadrado adicional está associado a um aumento médio de R$ 3.500 no preço.

O intercepto a é o valor previsto de Y quando X = 0. Em muitos contextos práticos, esse valor não tem interpretação direta — uma casa de 0 m² não existe. Mas matematicamente é necessário para completar a equação da reta.

O R² (coeficiente de determinação) mede a proporção da variação de Y que é explicada pelo modelo de regressão. Varia de 0 a 1 (ou 0% a 100%). Um R² de 0,85 significa que 85% da variação nos preços das casas é explicada pela variação na área, e os 15% restantes se devem a outros fatores não incluídos no modelo.

R² alto não significa que o modelo é bom em todos os contextos. Em ciências humanas, R² de 0,4 já pode ser considerado robusto. Em física experimental, espera-se R² acima de 0,99. O R² também não indica se a relação é causal — apenas o quanto a reta se ajusta aos dados.

Note que R² é literalmente o quadrado do coeficiente de correlação r de Pearson para regressão simples. Se a correlação entre área e preço for r = 0,92, então R² = 0,85 — as mesmas 85% mencionadas acima.

A regressão linear pressupõe que a relação entre X e Y é aproximadamente linear (verificar com diagrama de dispersão), que os resíduos são aproximadamente normais e com variância constante (homocedasticidade), e que as observações são independentes entre si.

O método dos mínimos quadrados — que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos — é o mais usado para estimar a e b. Ele é sensível a outliers: um único ponto muito distante da tendência geral pode puxar a reta significativamente. Em análises práticas, sempre verifique se há pontos influentes.

A extrapolação — usar o modelo para prever Y com valores de X muito além do intervalo dos dados — é arriscada. A reta pode se comportar de forma totalmente diferente fora dos limites observados. O modelo de temperatura e venda de sorvetes, por exemplo, não pode prever vendas para temperaturas de −30°C com confiança.