Progressão aritmética: reconhecer o padrão e calcular qualquer termo

Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência de números na qual a diferença entre cada termo e o anterior é sempre a mesma constante, chamada de razão (r). Na sequência 3, 7, 11, 15, 19, a diferença entre termos consecutivos é sempre 4: r = 4. Na sequência 100, 85, 70, 55, a diferença é sempre −15: r = −15. A razão pode ser positiva (PA crescente), negativa (PA decrescente) ou zero (PA constante, onde todos os termos são iguais).

Para verificar se uma sequência é uma PA, basta calcular todas as diferenças consecutivas e checar se são iguais. Se a sequência for 2, 5, 9, 14, as diferenças são 3, 4 e 5 — não são iguais, portanto não é uma PA. Essa verificação simples evita erros ao tentar aplicar fórmulas de PA em sequências que não se encaixam no padrão.

Exemplos do mundo real são fáceis de encontrar. Aumentos salariais anuais de valor fixo geram uma PA: se você começa com R$ 3.000 e recebe R$ 200 de aumento todo ano, seu salário forma a sequência 3.000, 3.200, 3.400, 3.600... com r = 200. Parcelas fixas de um empréstimo sem juros também formam uma PA decrescente quando você calcula o saldo devedor: a cada mês, o saldo cai pelo mesmo valor da parcela.

A fórmula do termo geral permite encontrar qualquer elemento da PA diretamente, sem precisar calcular todos os anteriores. A fórmula é aₙ = a₁ + (n − 1)r, onde a₁ é o primeiro termo, n é a posição desejada e r é a razão. O raciocínio por trás é simples: do primeiro ao n-ésimo termo ocorrem (n − 1) somas da razão. Para chegar ao segundo termo, somamos r uma vez; para o terceiro, duas vezes; para o n-ésimo, (n − 1) vezes.

Vamos calcular o 15º termo da sequência 2, 5, 8, 11... Identificamos a₁ = 2, r = 3 e n = 15. Aplicamos: a₁₅ = 2 + (15 − 1) × 3 = 2 + 14 × 3 = 2 + 42 = 44. Não foi necessário listar os 14 termos intermediários. A fórmula também pode ser usada de forma inversa: se sabemos que o valor 44 está na sequência e queremos saber em qual posição, resolvemos 44 = 2 + (n − 1) × 3, obtendo n = 15.

A fórmula inversa é igualmente útil para encontrar a razão quando dois termos são conhecidos. Se sabemos que o 1º termo é 5 e o 7º termo é 29, podemos escrever 29 = 5 + (7 − 1)r, o que dá 6r = 24 e r = 4. Essa flexibilidade torna a fórmula do termo geral uma ferramenta versátil para qualquer tipo de problema envolvendo PAs.

A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2. Essa fórmula vem de um raciocínio elegante atribuído a Gauss: ao escrever a sequência de frente para trás e somar as duas versões, cada par de termos correspondentes soma exatamente a₁ + aₙ. Como há n pares, a soma total é n(a₁ + aₙ), e como cada par foi contado duas vezes, dividimos por 2.

Exemplo: queremos a soma dos 20 primeiros termos da sequência 1, 4, 7, 10... com a₁ = 1 e r = 3. Primeiro calculamos o 20º termo: a₂₀ = 1 + (20 − 1) × 3 = 1 + 57 = 58. Depois aplicamos a fórmula da soma: S₂₀ = 20 × (1 + 58)/2 = 20 × 59/2 = 10 × 59 = 590. Somar 20 termos manualmente levaria muito tempo; a fórmula resolve em segundos.