Lei dos Cossenos: O Teorema de Pitágoras Generalizado
A Lei dos Cossenos generaliza Pitágoras para qualquer triângulo. Veja quando usá-la nos casos SAS e SSS, como calcular lados e ângulos, e aplicações práticas.
Renato Freitas
Atualizado em 5 de maio de 2026
Enunciado e conexão com Pitágoras
A Lei dos Cossenos diz que, em um triângulo com lados a, b, c e ângulo C oposto ao lado c: c² = a² + b² − 2ab · cos C.
Quando C = 90°, cos 90° = 0 e a fórmula se reduz a c² = a² + b², exatamente o Teorema de Pitágoras. Portanto, a Lei dos Cossenos é a versão generalizada de Pitágoras que funciona para qualquer triângulo, não apenas para os retângulos.
O termo −2ab · cos C atua como uma correção: quando C < 90° (ângulo agudo), cos C > 0 e c² é menor do que a² + b²; quando C > 90° (ângulo obtuso), cos C < 0 e a subtração vira adição, tornando c² maior do que a² + b².
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Quando usar a Lei dos Cossenos
A Lei dos Cossenos é a ferramenta certa em dois casos: SAS (dois lados e o ângulo entre eles são conhecidos) e SSS (os três lados são conhecidos).
No caso SAS, você aplica a fórmula diretamente para encontrar o lado oposto. No caso SSS, você isola o coseno para encontrar um ângulo: cos C = (a² + b² − c²) / (2ab), e então usa a função arccos.
A Lei dos Senos não funciona nesses casos porque, no SAS, você não tem um par completo lado-ângulo oposto, e no SSS você não tem nenhum ângulo inicial. A Lei dos Cossenos preenche exatamente essas lacunas.
- SAS: dois lados + ângulo incluso → encontrar o terceiro lado
- SSS: três lados conhecidos → encontrar qualquer ângulo
- AAS, ASA, SSA → prefira Lei dos Senos
Calculando o lado desconhecido (caso SAS)
Exemplo: a = 8, b = 6, C = 60°. Então c² = 8² + 6² − 2 × 8 × 6 × cos 60° = 64 + 36 − 96 × 0,5 = 100 − 48 = 52. Logo c = √52 = 2√13 ≈ 7,21.
Passos: (1) Identifique os dois lados e o ângulo entre eles. (2) Substitua na fórmula c² = a² + b² − 2ab cos C. (3) Calcule o valor numérico de c². (4) Extraia a raiz quadrada.
Uma vez encontrado c, você pode determinar os ângulos restantes usando a Lei dos Senos (agora temos um par completo lado-ângulo) ou usando a Lei dos Cossenos novamente para cada ângulo.
Calculando o ângulo desconhecido (caso SSS)
Exemplo: a = 5, b = 7, c = 9. Para encontrar C (oposto a c = 9): cos C = (5² + 7² − 9²) / (2 × 5 × 7) = (25 + 49 − 81) / 70 = −7/70 = −0,1. Logo C = arccos(−0,1) ≈ 95,74°.
O sinal negativo do cosseno indica que C é obtuso (maior que 90°), o que é esperado já que c = 9 é o lado mais longo. Esse raciocínio é útil para verificar se o resultado faz sentido.
Com um ângulo determinado, os outros dois podem ser calculados pela Lei dos Senos ou repetindo a Lei dos Cossenos. Sempre some os três ângulos ao final para confirmar que dão 180°.
Lei dos Senos vs Lei dos Cossenos: quando usar cada uma
A regra simples: se você tem um par lado-ângulo oposto e precisa de mais informações, use a Lei dos Senos. Se você não tem esse par — ou seja, seus dados são SAS ou SSS — use a Lei dos Cossenos.
Em problemas com dois ângulos (AAS ou ASA), a Lei dos Senos é mais rápida. No caso ambíguo SSA, a Lei dos Senos também se aplica, mas requer cuidado extra. A Lei dos Cossenos evita o caso ambíguo: no caso SAS, a solução é sempre única.
Em aplicações de engenharia e navegação, as duas leis são usadas em conjunto: a Lei dos Cossenos para o primeiro triângulo, e a Lei dos Senos para os subsequentes, alternando conforme os dados disponíveis.
Perguntas frequentes
Posso usar a Lei dos Cossenos em qualquer triângulo, incluindo obtusângulos?
Sim, a fórmula vale para triângulos acutângulos, retângulos e obtusângulos sem nenhuma modificação. Quando o ângulo C é obtuso, cos C é negativo, e o termo −2ab cos C se torna positivo, refletindo que c é maior do que em um triângulo com ângulo reto.
Por que não usar a Lei dos Senos no caso SAS?
No caso SAS você conhece dois lados e o ângulo entre eles, mas não tem o ângulo oposto a nenhum dos dois lados conhecidos — e a Lei dos Senos exige um par completo lado-ângulo oposto. Sem esse par, a proporção não pode ser montada.
A calculadora pode dar arccos de valores fora de −1 a 1?
Não. Se a conta resultar em cos C > 1 ou cos C < −1, houve um erro de cálculo ou os valores dados não formam um triângulo válido. A desigualdade triangular exige que cada lado seja menor que a soma dos outros dois.
Como sei qual versão da Lei dos Cossenos usar — para o lado ou para o ângulo?
Depende do que é desconhecido. Se você quer o lado, use c² = a² + b² − 2ab cos C diretamente. Se você quer o ângulo e conhece os três lados, isole o coseno: cos C = (a² + b² − c²) / (2ab) e aplique arccos.
Existe uma versão da Lei dos Cossenos para ângulos em radianos?
A fórmula é idêntica; apenas o valor numérico do coseno muda conforme a unidade. cos(π/3) em radianos é o mesmo que cos 60° = 0,5. A lei funciona em qualquer unidade, desde que a calculadora esteja configurada corretamente.
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